高八度為何是頻率乘以二？看懂音程與半音的比例

把一個音唱高八度，改變的是音高，不是把音量放大。在理想的八度關係中，上方音的頻率是下方音的兩倍：440 Hz 對應 880 Hz，220 Hz 則對應 440 Hz。兩組的頻率差不同，卻都是八度，關鍵就在「比例」而非相差多少。

八度看頻率比，不能只做減法

新南威爾斯大學的音名與頻率教材說明，音程與兩個音的頻率比有關，八度的比例為 2：1。頻率以赫茲（Hz）表示，是每秒振動週期的次數；比較具有明確音高的樂音時，這裡談的是其基頻，不是把所有泛音混在一起算。

以 A4＝440 Hz 作為本文的定音基準，高一個八度的 A5 是 880 Hz，低一個八度的 A3 是 220 Hz。字母 A 保留相同音名，後面的數字區分所在八度；「同樣叫 A」不代表兩個音的實際高度相同。這個基準是算例條件，不是說每場演出都必須採用 440 Hz。

試著把連續升高兩個八度列出來：440 → 880 → 1,760 Hz。每次都乘以二，所以總共乘以四。若誤用「每次加 440」，第二步只會到 1,320 Hz；它和 880 Hz 的比是 1.5，不是二，就不能算作再高一個八度。往下移動則每次除以二，並非每次減去固定數字。

十二平均律的「平均」，平均的是比例

同一份大學教材指出，十二平均律把一個八度分成十二個等音程的半音，每一步的頻率比都是二的十二次方根，約 1.059463。也就是從某個頻率開始，連乘十二次這個數，最後正好變成原來的兩倍。

這與把 440 至 880 Hz 的差額均分十二份不同。以本文基準計算，440 Hz 上方一個半音約為 466.16 Hz，增加約 26.16 Hz；880 Hz 上方一個半音約為 932.33 Hz，增加約 52.33 Hz。兩者都是向上半音，但高音區增加的 Hz 較多。

相同音程保留相同頻率比，不保證相同頻率差。因此，看調音資料時，不能只比較兩個數字相減後誰比較大，就斷定誰隔了更多半音。上述數值按理想十二平均律計算，四捨五入至小數點後兩位；其他律制不宜直接套用這個半音比例。

分開比較音高、音量與音色

Yamaha 的聲音與頻率入門以合成器示範頻率倍率，也把振幅、音高與音色分開說明。頻率乘以二造成八度移動，不表示聲音必然更響；把音量旋鈕轉大，也不等於把音升高八度。

有鍵盤或可輸入頻率的合成器時，可以用原本舒適的音量，選同一種音色，先後比較 220、440、880 Hz；再固定其中一個音，只改變音量。第一輪留意高低，第二輪留意強弱。這是對照練習，並不是要求你光憑聽覺便能報出精確 Hz。

若同時換了樂器音色，又調整音量，初學者便很難知道自己在比較哪一項。可搭配本站的同一音高在鋼琴與小提琴上為何不同，另行理解音色。回到八度判斷時，先把高頻率除以低頻率：比值為二，才符合本文討論的理想八度關係；聲音大小與使用甚麼樂器，是另外需要交代的條件。